Question

【題目】在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為線段的中點，底面，點是棱的中點，平面與棱相交于點．

（1）求證：；

（2）若與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先證明四邊形為平行四邊形，得到，然后可得平面，然后由線面平行的性質定理可證；

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設，首先利用與所成的角為求出，然后算出平面的法向量坐標和的坐標，然后可算出答案.

（1）證明：因為為中點，且

所以，又因為，所以

所以四邊形為平行四邊形

所以，因為平面，平面，所以平面

因為平面，平面平面

所以

（2）由（1）可得

因為，所以，且平面

所以以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系

設，，，

，，因為與所成角為

所以，

解得

所以，，

，，

設平面得一個法向量

，可得，可取

設直線與平面所成的角為