Question

已知x、y∈R，命題p為x＞y，命題q為x+sinycosx＞y+sinxcosy．則命題p成立是命題q成立的（　　）

• A、充分非必要條件
• B、必要非充分條件
• C、充要條件
• D、非充分非必要條件

Answer 1

分析：結合三角函數的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解：不等式x+sinycosx＞y+sinxcosy
等價為（x-y）-（sinxcosy-sinycosx）＞0
即（x-y）-sin（x-y）＞0
∴sin（x-y）＜x-y
設x-y=t，則當x＞y時，t＞0，
且sint＜t，
設g（t）=sint-t，
則g'（t）=cost-1≤0，
∴g（t）=sint-t單調遞減．
∵g（0）=0，
∴當t＞0時，g（t）＜g（0）=0，
即sint＜t成立
∴x+sinycosx＞y+sinxcosy成立．
先看充分性：已知x＞y，由上面推導過程可知sin（x-y）＜x-y，p成立是q成立的充分條件．
再看必要性：已知sin（x-y）＜x-y，則x＞y，p成立是q成立的必要條件
綜上，命題p成立是命題q成立的充要條件．
故選：C．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，三角函數的兩角和與差的公式，構造函數g（t）=sint-t利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵，綜合性較強．