Question

（本小題滿分14分）

設動圓過點，且與定圓內切，動圓圓心的軌跡記為曲線，點的坐標為．

（1）求曲線的方程；

（2）若點為曲線上任意一點，求點和點的距離的最大值；

（3）當時，在（2）的條件下，設是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點，記△的面積為，以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（本小題滿分14分）

（1）.    

（2） ．

（3）存在最小值．

【解析】（本小題滿分14分）

解: （1）定圓圓心為，半徑為.     --------------------------------------------1分

設動圓圓心為，半徑為，由題意知，，，      ----------------------------------------------------------------2分

因為,

所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，     -------------3分

故曲線的方程為.     --------------------------------------------------------4分

（2）設，則

，      -----------------------------------------------------5分

令，，所以，

當，即時，在上是減函數，

 ；          ----------------------------------------------6分

當，即時，在上是增函數，在上是減函數，則；                     -----------------------7分

當，即時，在上是增函數，

．   -----------------------------------------------------------8分

所以， ．              --------------------------9分

（3）當時,,于是,.

若正數滿足條件，則， -------------------------10分

即，所以 .       -----------------------------11分

令，設，則，，于是

所以，當，即，時，，

----------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值． ------------------------14分

另解：當時,,于是,.

若正數滿足條件，則， -------------------------10分

即，所以 .       ---------------------------11分

令，則，

由,得.

當時，；當時，.

故當時，， ---------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值．  -----------------------14分