Question

已知F₁，F₂是雙曲線C：  

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F₁F₂為斜邊作等腰直角三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為

10 + 2

2

．

Answer 1

分析：不妨設F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，M在y軸正半軸上，則可表示出F₁和M的坐標，進而可表示出線段MF₁的中點坐標代入雙曲線方程，化簡整理即可求得e．

解答：解：記雙曲線的焦距為2c，不妨設F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，M在y軸正半軸上，則有F₁（-c，0），M（0，c），
∴線段MF₁的中點坐標是（-

c

2

，

c

2

）
又∵線段MF₁的中點在雙曲線上，
∴

c2 4

a2

-

c2 4

b2

=1
∴

c2

a2

-

c2

c2-a2

=4
∴（e²）²-6e²+4=0，
∴e²=3±

5

∵e²＞1，
∴e=

10 + 2

2

故答案為：

10 + 2

2

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的關系以及求離心率的問題，考查學生的運算能力，屬于中檔題．