Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個動點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+1與點(diǎn)P的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，且，求k的值；
（3）設(shè)點(diǎn)P的軌跡曲線為C，點(diǎn)Q（x，y）（x≤1）是曲線C上的一點(diǎn)，求以點(diǎn)Q為切點(diǎn)的曲線C的切線方程及切線傾斜角的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知．由y≥0，知，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2，再由，結(jié)合弦長公式能求出k的值．
（3）因為Q（x，y）在曲線C上，所以切點(diǎn)，又求導(dǎo)得y'=x，所以切線斜率k=x，切線方程為2xx-2y-x²=0，由此能求出傾斜角取值范圍．
解答：解：（1）過P作x軸垂線且垂足為N，由題意可知
而y≥0，∴|PN|=y，∴
化簡得x²=2y（y≥0）為所求的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，
得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2，
∴k⁴+3k²-4=0，
而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．
（3）因為Q（x，y）在曲線C上，
∴x²=2y，
∴切點(diǎn)．
又求導(dǎo)得y'=x，
∴切線斜率k=x
則切線方程為，
即2xx-2y-x²=0為所求切線方程，
又x≤1，
∴切線斜率k≤1，
∴傾斜角取值范圍為．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．