Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P到定點(diǎn)M（0，

1

2

）的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=x+1與點(diǎn)P的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）設(shè)點(diǎn)P的軌跡是曲線C，點(diǎn)Q（1，y₀）是曲線C上一點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)Q的曲線C的切線方程．

Answer 1

分析：（1）用直接法或定義法求得點(diǎn)P軌跡方程．
（2）聯(lián)立y=x+1與x²=2y化簡(jiǎn)得x²-2x-2=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入弦長(zhǎng)公式求出結(jié)果．
（3）曲線C即函數(shù)y=

x2

2

的圖象，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，點(diǎn)斜式求得切線的方程．

解答：解：（1）用直接法或定義法求得點(diǎn)P軌跡方程為x²=2y．
（2）聯(lián)立y=x+1與x²=2y化簡(jiǎn)得x²-2x-2=0．  設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，
|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

6

．
（3）曲線C即函數(shù)y=

x2

2

的圖象，y′=x，y′|_x=1=1，又Q（1，

1

2

），
故所求切線方程為y-

1

2

=1•（x-1）即x-y-

1

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出切線的斜率是解題的關(guān)鍵．