Question

公因數只有1的兩個數，叫做互質數．例如：2與7互質，1與4互質．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α₁•α₂•α₃•α₄•α₅•α₆•α₇中，使相鄰兩數都互質的不同排列方式共有（ ）種．
A．576
B．720
C．864
D．1152

Answer 1

【答案】分析：根據題意，分析可得1、5、7這三個數與任意的數互質，可以放在任意位置，最先安排這三個數，2、4、6這三個數兩兩有公約數，彼此不能相鄰，3與6也不能相鄰，則對2、4、6和3這四個數，分兩種情況討論：①3不2、4在中間，②3在2、4之間，分別求出每種情況的排法數目，有分類計數原理可得2、4、6和3這四個數的排法數目，進而由分步計數原理，計算可得答案．
解答：解：根據題意，先排1、5、7，有A₃³=6種情況，排好后有4個空位，
對于2、4、6和3這四個數，
分兩種情況討論：①3不2、4在中間，可先將2、4、6排在4個空位中，有A₄³=24種情況，3不能放在6的兩邊，有5種排法，則此時有24×5=120種不同的排法，
②3在2、4之間，將這三個數看成整體，有2種情況，與6一起排在4個空位中，有A₄²=12種情況，則此時有2×12=24種不同的排法，
則2、4、6和3這四個數共有120+24=144種排法；
則使相鄰兩數都互質的不同排列方式共有6×144=864種；
故選C．
點評：本題考查排列、組合的應用，關鍵是依據互質數的定義，對所給的7個數進行分組，再分步進行排列．