Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側棱底面，且，是側棱上的動點.

（1）求四棱錐的體積；

（2）如果是的中點，求證：平面；

（3）不論點在側棱的任何位置，是否都有？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

（3）不論點在何位置，都有,證明見解析

【解析】

（1）根據棱錐的體積公式即可求四棱錐的體積；

（2）根據線面平行的判斷定理即可證明平面；

（3）根據線面垂直的性質定理即可證明.

（1）∵平面，正方形的邊長為1，，

∴，即四棱錐的體積為；

（2）如圖所示，連結交于，連結.

∵四邊形是正方形，∴是的中點.

又∵是的中點，∴.

∵平面，平面，∴平面；

（3）不論點在何位置，都有.

證明如下：∵四邊形是正方形，∴.

∵底面，且平面，∴.

又∵，∴平面.

∵不論點在何位置，都有平面.

∴不論點在何位置，都有.