Question

已知和，點T（x，y）滿足，O為直角坐標原點，
（1）求點T的軌跡方程Γ；
（2）過點（0，1）且以為方向向量的一條直線與軌跡方程Γ相交于點P，Q兩點，OP，OQ所在的直線的斜率分別是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知點T的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中 a=2，c=，b==2，由此能夠推導出點T的軌跡方程．
（2）先求出直線L的方程，與橢圓方程聯立求出x₁x₂以及代入k_OP•k_OQ即可得到結論．
解答：解：（1）∵＞|F₁F₂|=2，
∴點T的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，
其中 a=2，c=，b==2，
故點T的軌跡方程為（6分）
（2）直線L的斜率（7分）
設直線L的方程：（8分）
聯立消去y得：所以x₁x₂=-1，（10分）
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以（12分）
∴K_OP•K_OQ==．（16分）
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現不必要的錯誤．