Question

10．某工廠打算建造如圖所示的圓柱形容器（不計厚度，長度單位：米），按照設計要求，該容器的底面半徑為r，高為h，體積為16π立方米，且h≥2r．已知圓柱的側面部分每平方米建造費用為3千元，圓柱的上、下底面部分每平方米建造費用為a千元，假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，該容器的建造總費用為y千元．
（1）求y關于r的函數表達式，并求出函數的定義域；
（2）問r為多少時，該容器建造總費用最�。�

Answer 1

分析 （1）設容器的容積為V，利用體積公式化簡求解即可．
（2）求出函數的導數$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，求出極值點利用函數的單調性求解最值即可．

解答 解：（1）設容器的容積為V，
由題意知V=πr²h=16π，故$h=\frac{16}{r^2}$，…..（2分）
因為h≥2r，所以0＜r≤2，…．（4分）
故建造費用$y=2πrh×3+2π{r^2}a=6πr×\frac{16}{r^2}+2π{r^2}a$，
即$y=2πa{r^2}+\frac{96π}{r}，0＜r≤2$．…．（6分）
（2）由（1）得$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，
令y'=0得$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$，…..（8分）
①當$0＜2\root{3}{{\frac{3}{a}}}＜2$即a＞3時，
若$r∈（{0，2\root{3}{{\frac{3}{a}}}}）$，則y'＜0，函數單調遞減；
若$r∈（{2\root{3}{{\frac{3}{a}}}，2}）$，則y'＞0，函數單調遞增；
所以$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$時，函數取得極小值，也是最小值．…（12分）
②當$2\root{3}{{\frac{3}{a}}}≥2$即0＜a≤3時，
因為r∈（0，2]，則y'＜0，函數單調遞減；
則r=2時，函數取得最小值．…（14分）
綜上所述：若a＞3，當$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$時，建造總費用最少；
若0＜a≤3，當r=2時，建造總費用最少．…..（16分）

點評 本題考查實際問題的應用，函數的解析式的求法，導數的應用，函數的最值的求法，考查計算能力．