Question

設(shè)橢圓(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P、Q兩點(diǎn),且P分向量所成的比為8：5．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程.

Answer 1

解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)Q(x₀,0),F(-c,0),

其中c=,A(0,b).

由P分所成的比為8:5,得P(), 

∴.   ① 

而=(c,b), =(x₀,-b),⊥,

∴·=0,∴cx₀-b²=0,x₀=       ② 

由①②知2b²=3ac,∴2c²+3ac-2a²=0.

∴2e²+3e-2=0,∴e=. 

(Ⅱ)滿足條件的圓心為

(c,0) 

圓半徑r=. 

由圓與直線l:

x+y+3=0相切得,,

又a=2c,∴c=1,a=2,b=.

∴橢圓方程為.