Question

已知定義域為R的函數y=f（x），則下列命題：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1的對稱；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數y=f（x）的圖象關于（1，0）點對稱；
③函數y=f（x-1）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱；
④函數y=-f（x-1）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于原點對稱；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，則函數y=f（x）以4為周期．
其中真命題的有

1. A.
   ①④
2. B.
   ②③
3. C.
   ②⑤
4. D.
   ③⑤

Answer 1

C
分析：利用函數的基本性質，對稱軸，對稱中心，周期，分別對選項驗證，判定正誤即可．
解答：①由f（x-1）=f（1-x），則函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱，故①錯．
②f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數y=f（x）的圖象關于（1，0）點對稱；②正確．
③函數y=f（x-1）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于x=1對稱；③錯．
④函數y=-f（x-1）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于（1，0）對稱；④錯．
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則函數y=f（x）以4為周期．正確．
故選C．
點評：本題考查函數圖象的對稱性，函數的周期性，考查學生靈活運用知識的能力，是基礎題．