Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）=f（x+2），當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|．下列四個不等關系中正確的是（　　）

• A．f（cos

  2π

  3

  ）＜f（sin

  2π

  3

  ）
• B．f（sin1）＞f（cos1）
• C．f（sin

  π

  6

  ）＜f（cos

  π

  6

  ）
• D．f（cos2）＞f（sin2）

Answer 1

分析：由f（x）=f（x+2）可知f（x）是以2為周期的函數，依題意可求得3≤x＜4時與4≤x≤5時f（x）的解析式，對A，B，C，D判斷即可．

解答：解：∵x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，
∴當3≤x＜4時，f（x）=x-2，
當4≤x≤5時f（x）=6-x，
又f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的周期函數；
當x∈[1，3]時，函數同x∈[3，5]時相同，
同理可得，1≤x＜2時f（x）=（x+2）-2=x，即f（x）在[1，2）上單調遞增；
當2≤x≤3時f（x）=6-（x+2）=4-x，
所以，當0≤x≤1時f（x）=6-（x+2）=2-x，即f（x）在[0，1]上單調遞減；
∵cos

2π

3

=-

1

2

，f（x）=f（x+2），
∴f（cos

2π

3

）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

2

，f（sin

2π

3

）=f（

3

2

）=2-

3

2

，
顯然，f（cos

2π

3

）＞f（sin

2π

3

），故A錯誤；
對于B，0＜cos1＜sin1＜1，f（x）在[0，1]上單調遞減，
∴f（cos1）＞f（sin1），故B錯誤；
同理可得，f（sin

π

6

）＞f（cos

π

6

），故C錯誤；
對于D，f（cos2）=f（2+cos2）=2+cos2，f（sin2）=2-sin2，
f（cos2）-f（sin2）=2+cos2-2+sin2=sin2+cos2＞0，
故D正確．
故選D．

點評：本題考查不等關系與不等式，考查分段函數的解析式的求法與三角函數的單調性的綜合應用，屬于難題．