Question

（2007•武漢模擬）（1）已知函數m（x）=ax²e^-x （a＞0），求證：函數y=m（x）在區間[2，+∞）上為減函數．
（2）已知函數f（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證函數y=m（x）在區間[2，+∞）上為減函數，求出導函數f′（x），只須證明f′（x）＜0即可；
（2）欲在（0，+∞）上至少存在一點x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需f（x）=

f(x)

g(x)

的最大值大于1，建立不等關系，解之即可．

解答：解：（1）m'（x）=axe^-x（2-x），而ax＞0，∴當x＞2時，m'（x）＜0，因此m（x）在[2，+∞）上為減函數．
（2）記m（x）=

ax2+2ax

ex

，則m'（x）=（-ax²+2a）e^-x，
當x＞

2

時，m'（x）＜0 當0＜x＜

2

時，m'（x）＞0
故m（x）在x=

2

時取最大值，同時也為最大值．m（x）_max=m（

2

）=

2a+2 2 a

e 2

依題意，要在（0，+∞）上存在一點x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立．即使m（x₀）＞1只需m（

2

）＞1
即

2a+2 2 a

e 2

＞1∴a＞

2 -1

2

e 

2

，因此，所求實數a的取值范圍為（

2 -1

2

e 

2

，+∞）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．