Question

已知O是線段AB外一點，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）設點A₁、A₂是線段AB的三等分點，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，試用向量

a

、

b

表示

OG1

+

OG2

+

OG3

；
（2）如果在線段AB上有若干個等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意畫出圖形由于點A₁、A₂是線段AB的三等分點，又由于△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，利用重心的性質及向量的三角形法則求得用向量

a

、

b

表示

OG1

+

OG2

+

OG3

；
（2）由題意若在線段AB上有若干個等分點，有（1）的證明過程及結論可以逐漸得到結論，并且利用向量的加法及減法得到證明過程．

解答：解：（1）如圖：點A₁、A₂是線段AB的三等分點，

OG1

=

2

3

[

1

2

(

OA

+

OA1

)]=

1

3

(

OA

+

OA1

)，同理可得：

OG2

=

1

3

(

OA 1

+

OA2

)，

OG3

=

1

3

(

OA2

+

OB

)，
則

OG1

+

OG2

+

OG3

=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

(

OA1

+

OA2

)
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[

a

+

1

3

(

b

-

a

)+

a

+

2

3

(

b

-

a

)]
=(

a

+

b

)
（2）層次1：設A₁是AB的二等分點，則OA1=

a + b

2

；

OG1

+

OG2

=

2

3

(

a

+

b

)；
設A₁、A₂、A₃是AB的四等分點，則

OA1

+

OA2

+

OA3

=

3( a + b )

2

；
或設A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，則

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

，
層次2：設A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，

OA1

+

OA2

+

OA3

++

OAn-2

+

OAn-1

=

n( a + b )

2

，
層次3：設A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，
則

OG1

+

OG2

+

OG3

++

OGn-2

+

OGn-1

=

n( a + b )

3

；
證：

OG1

+

OG2

++

OGn-1

=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

(

OA1

+

OA2

++

OAn-1

)
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[

a

+

1

n

(

b

-

a

)+

a

+

2

n

(

b

-

a

)++

a

+

n-1

n

(

b

-

a

)]
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[(n-1)

a

+(

1

n

+

2

n

++

n-1

n

)

b

-(

1

n

+

2

n

++

n-1

n

)

a

]
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

•

(n-1)

2

(

a

+

b

)=

n

3

(

a

+

b

)

點評：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法和減法，還考查了學生對于新問題逐漸分析并合理聯想的能力．