Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，E為A₁D的中點．
（1）試在線段CD上找一點F，使EF∥平面A₁BC，并說明理由；
（2）求證：CD⊥平面A₁ACC₁，并求四棱錐D-A₁ACC₁的體積．

Answer 1

解：（1）取CD的中點F，連接EF，則EF是△DA₁C的中位線，∴EF∥A₁C．∵A₁C?面A₁BC，
EF在面A₁BC 外，∴EF∥平面A₁BC．
（2）∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，∴AC=CD=，
由勾股定理得 AC⊥CD．再由AA₁垂直于底面得，AA₁⊥CD．而AC和AA₁是平面A₁ACC₁內的兩條相交直線，
∴CD⊥平面A₁ACC₁．
矩形A₁ACC₁的面積等于 AA₁×AC=2×=2，四棱錐D-A₁ACC₁的高 CD=，
四棱錐D-A₁ACC₁的體積為AA₁×AC×CD=．
分析：（1）取CD的中點F，則EF是△DA₁C的中位線，得到 EF∥A₁C，從而證得 EF∥平面A₁BC．
（2）由勾股定理證得 AC⊥CD，再由AA₁垂直于底面得，AA₁⊥CD，從而證得CD⊥平面A₁ACC₁，求出矩形A₁ACC₁的面積，四棱錐D-A₁ACC₁的高 CD，代入四棱錐D-A₁ACC₁的體積公式進行運算．
點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，體現了數形結合的數學思想，證明CD⊥平面A₁ACC₁，是解題的難點．