Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M為圓上一點，ME⊥AB，垂足為E，點C為⊙O上任一點，AC，EM交于點D，BC交DE于點F．求證：
（1）AE：ED=FE：EB；
（2）EM²=ED•EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證：AE：ED=FE：EB，可先通過證明兩個三角形△AED與△FEB相似得到；
（2）先作出輔助線：延長ME與⊙O交于點N，再由相交弦定理，得關系式結合線段相等：EM=EN，最后結合（1）的結論即得．
解答：證明：（1）∵MN⊥AB，∴∠B=90°-∠BFE=∠D，
∴△AED∽△FEB，
∴AE：ED=FE：EB；（5分）
（2）延長ME與⊙O交于點N，由相交弦定理，
得EM•EN=EA•EB，且EM=EN，
∴EM²=EA•EB，由（1）
∴EM²=ED•EF．（10分）
點評：此題主要考查的是相似三角形的性質及與圓有關的比例線段，正確的判斷出相似三角形的對應邊和對應角是解答此題的關鍵．屬于基礎題．