Question

用長為36m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為3：1，該長方體的最大體積是

81

4

m³．

Answer 1

分析：設出長、寬、高，由已知周長得出關于長、寬、高未知數的表達式，再表示出體積的表達式，使用

a+b+c

3

≥

3	abc

（當且僅當a=b=c時取等號）即可．

解答：解：設該長方體的寬、高分別為xm、ym，則長為3xm，于是4（3x+x+y）=36，∴2x+2x+y=9．（x＞0，y＞0）
又V_長方體=3x×x×y=3x²y=

3

4

×2x×2x×y≤

3

4

×(

2x+2x+y

3

)3=

3

4

×(

9

3

)3=

81

4

m³，當且僅當2x=y=

9

3

，即x=

3

2

，y=3時取等號．
∴該長方體的最大體積是

81

4

m³．
故答案為

81

4

．

點評：由已知周長得出關于長方體的長寬高的表達式并變形使用均值不等式是解題的關鍵．