Question

已知

c

=m

a

+n

b

=(-2

3

，2)，

a

⊥

c

，

b

與

c

的夾角為120°，且

b

•

c

=-4，|

a

|=2

2

，求實數m、n的值及

a

與

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：先在等式

c

=m

a

+n

b

兩邊同乘以

c

，可求出n的值，然后在等式

c

=m

a

+n

b

兩邊同乘以

b

，再結合題目條件可求出m的值，最后利用向量的夾角公式求出

a

與

b

的夾角θ即可．

解答：解：∵

a

⊥

c

，∴

a

•

c

=0．
又

c

=m

a

+n

b

∴

c

•

c

=m

a

•

c

+n

b

•

c

∴16=-4n，n=-4
∵

b

•

c

=|

b

|• |

c

| cos120°
∴|

b

| ×4×(-

1

2

)=-4則|

b

| =2
∴

a

•

c

=m

a

2-4

a

•

b

∴

a

•

b

=2m
又

b

•

c

=m

a

•

b

-4

b

2
∴2m²-16=-4即m=±

6

當m=

6

時，

a

•

b

=2

6

，cosθ=

a • b

/ a ∥ b /

=

2 6

2 2×2

=

3

2

∴θ=

π

6

當m=-

6

時，同理可求θ=

5π

6

綜上知，m=

6

，n=-4時，θ=

π

6

；m=-

6

，n=-4時，θ=

5π

6

點評：本題主要考查了向量的數量積的應用，以及平面向量數量積的性質及其運算律，屬于中檔題．