Question

用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形數組，其排列的規律如下圖所示：
已知m個鋼珠恰好可以排成每邊n個鋼珠的正三角形數組與正方形數組各一個；且知若用這m個鋼珠去排成每邊n個鋼珠的正五邊形數組時，就會多出9個鋼珠，則m=

 

．

Answer 1

分析：根據所給的圖形觀察圖形的特點，邊上每增加一個珠子時，組成正多邊形的珠子數的變化規律，得到三個等差數列，根據等差數列的前n項和寫出總數，根據所給的m個珠子排成的圖形，寫出方程組，解方程組即可．

解答：解：由題意知當用珠子排成正三角形數組時，當邊上只有一個珠子時，共有一個珠子，
當邊上有兩個珠子時，共有3個珠子，
當邊上有三個珠子時，有6個珠子，
以此類推當邊上有n個珠子時，共有1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
用珠子排成正四邊形的數組時，
當邊上有1個珠子，共有一個，
…
當一邊上有n個珠子時，共有1+3+5+7+…+2n-1=n²，
當用珠子排成正五邊形時，當一條邊上有n個珠子時，共有

n(3n-1)

2

，
∵m個鋼珠恰好可以排成每邊n個鋼珠的正三角形數組與正方形數組各一個；
且知若用這m個鋼珠去排成每邊n個鋼珠的正五邊形數組時，就會多出9個鋼珠，
∴

n(n+1)

2

+n2= m，①
 

n(3n-1)

2

+9=m    ②
把②代入①得到n=9，
代入①得到m=126，
故答案為：126

點評：考查等差數列的前n項和，考查觀察圖形，考查方程思想的應用，是一個綜合題目，這種題目具有創新性，是一個好題又是一個易錯題．