Question

拋物線（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).

（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x₀，0），比較x₀與3p大小；

（2）若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N₁，N₂，N₃，…，求++…+的值.

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)直線l方程為y=k（x+p），代入y²=4px.

得k²x²+（2k²p－4p）x+k²p²=0.Δ=4（k²p－2p）²－4k²·k²p²>0，得0<k²<1.

令A(yù)（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=－，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=，

AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.AB垂直平分線為y－=－（x－）.

令y=0，得x₀==p+.由上可知0<k²<1，∴x₀>p+2p=3p.∴x₀>3p.

（2）解：∵l的斜率依次為p，p²，p³，…時(shí)，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N₁，N₂，N₃，….

∴點(diǎn)N_n的坐標(biāo)為（p+，0）.

|N_nN_n+1|=|（p+）－（p+）|=，=，

所求的值為［p³+p⁴+…+p²¹］=，因?yàn)?<k²<1，所以0<P<1

【解析】略