Question

已知定義在R上的函數y=f(x)滿足條件：對于任意的x，y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)，當x＞0時，f(x)＜0。（1）求f(0)的值；
（2）討論f(x)的奇偶性和單調性；
（3）當x＞0時，對于f(x)總有f(1-m)+f(1-m²)＜0，求m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）取x=y=0，得，
∴。
（2）取y=-x，則，
∴，即為奇函數；
設，則
，
所以，在R上單調遞減。
（3）f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∵f(0)=0，
∴f(1-m)+f(1-m²)＜f(0)，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(1-m+1-m²)＜f(0)，
∵f(x)在R上單調遞減，當x＞0時，對于f(x)總有f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∴原不等式的解集等價于，
化簡，得，即-1＜m＜1，
∴m的取值范圍是（-1，1）。