Question

兩條互相平行的直線分別過點A（6，2）和B（-3，-1），并且各自繞著A，B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d．
求：
（1）d的變化范圍；
（2）當d取最大值時兩條直線的方程．

Answer 1

分析：（1）方法一：①當兩條直線的斜率不存在時，可求得兩直線間的距離；②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），利用兩平行線間的距離公式可求得兩直線間的距離d的表示式，兩端平方，整理成關于斜率k的二次方程，利用其有解的條件即可求得d的變化范圍；
（2）作出圖形，數形結合即可求得答案．

解答：解：（1）方法一：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x=6和x=-3，則它們之間的距離為9．…（2分）
②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為
l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），
即l₁：kx-y-6k+2=0，l₂：kx-y+3k-1=0，…（4分）
∴d=

|3k-1+6k-2|

k2+1

=

3|3k-1|

k2+1

．
即（81-d²）k²-54k+9-d²=0．
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴△=（-54）²-4（81-d²）（9-d²）≥0，即0＜d≤3

10

且d≠9．…（9分）
綜合①②可知，所求d的變化范圍為（0，3

10

]．

方法二：如圖所示，顯然有0＜d≤|AB|．
而|AB|=

[6-(-3)]2+[2-(-1)]2

=3

10

．
故所求的d的變化范圍為（0，3

10

]．
（2）由圖可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB．
而k_AB=

2-(-1)

6-(-3)

=

1

3

，
∴所求直線的斜率為-3．故所求的直線方程分別為
y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）

點評：本題考查兩條平行直線間的距離，考查分類討論思想與數形結合思想的綜合運用，屬于難題．