Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）當且時，函數的圖象總在直線的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

求出函數的導數,由切線方程可得,解方程即可;

由題意知,對任意恒成立等價于不等式對任意恒成立,

令函數，證明在恒成立即可;

對函數進行求導,利用導數判斷函數的單調性,求最值即可求出實數的取值范圍.

依題意，，

故，則，解得；

依題意，當時，恒成立,

即對任意恒成立，

令，證明在恒成立即可,

因為，

令，當時，圖象開口向下，

又因為在上有兩個零點1和，

①當時，即，此時在上恒成立，

函數在上單調遞減，因為，

所以函數在恒成立,符合題意;

②當時,即，此時當時, ，

函數在上單調遞減，因為，

所以函數在恒成立,符合題意;

③當時，即，此時當時,，

當時, ，

函數在上單調遞增；在上單調遞減；

所以，不符合題意;

綜上可知，實數的取值范圍為.