Question

【題目】已知函數，直線為曲線的切線（為自然對數的底數）．

（1）求實數的值；

（2）用表示中的最小值，設函數，若函數

為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求導，然后利用導數等于求出切點的橫坐標，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設與交點的橫坐標為，利用導數求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.

試題解析：

（1）對求導得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

設直線與曲線切于點，則

，解得，

所以的值為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）記函數，下面考察函數的符號，

對函數求導得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

當時，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

當時，，

從而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

，∴，

又曲線 在上連續不間斷，所以由函數的零點存在性定理及其單調性知唯一的，使．

∴；，，

∴，

從而，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

由函數為增函數，且曲線在上連續不斷知在，上恒成立．

①當時，在上恒成立，即在上恒成立，

記，則，

當變化時，變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴，

故“在上恒成立”只需，即 ．

②當時，，當時，在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數為增函數．

故實數的取值范圍是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分