Question

（2013•延慶縣一模）已知f(x)=

3

sin2x+cos2x-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

6

]，求f（x）的最小值及取得最小值時對應的x的取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式，化簡函數的解析式為2sin(2x+

π

6

)-1，根據周期T=

2π

2

求得結果，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的單調遞增區間．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，根據正弦函數的定義域和值域求得f（x）的最小值及取得最小值時對應的x的取值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1…（4分）
∵T=

2π

2

=π，∴f（x）最小正周期為π．…（5分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得             …（6分）
-

2π

3

+2kπ≤2x≤

π

3

+2kπ…（7分）-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ…（8分）
∴f（x）單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)．…（9分）
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，…（10分）
∴f（x）在區間[0，

π

6

]單調遞增，…（11分）
∴[f（x）]_min=f（0）=0，對應的x的取值為0．…（13分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的單調性、周期性、定義域和值域，屬于中檔題．