Question

已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積、表面積分別為（　　）

• A、4

  3

  πa³，12πa²
• B、4

  3

  πa³，3πa²
• C、

  3

  2

  4πa³，12πa²
• D、

  3

  2

  4πa³，3πa²

Answer 1

分析：一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，球是正方體的外接球，球的直徑是正方體的體對(duì)角線，勾股定理可得體的對(duì)角線，得到球的直徑，求出體積和表面積．

解答：解：∵一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，
∴球是正方體的外接球，球的直徑是正方體的體對(duì)角線，
有勾股定理可得體的對(duì)角線是

12a2

=2

3

a，
∴球的半徑是

3

a，
∴球的體積是

4

3

π(

3

a)3=4

3

πa3，
球的表面積是4π(

3

a)2=12πa2，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體，是一個(gè)空間組合體的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是看出兩個(gè)幾何體之間的關(guān)系，數(shù)量的關(guān)系．