Question

12．如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B為焦點的雙曲線的漸近線經過點C，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 設AB=BC=2，取AB的中點為O，由題意可得雙曲線的一條漸近線為直線OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即為漸近線的斜率，由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到．

解答 解：設AB=BC=2，
取AB的中點為O，
由題意可得雙曲線的一條漸近線為直線OC，
在三角形OBC中，
cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴OC²=OB²+BC²-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴OC=$\sqrt{7}$，
則cos∠COB=$\frac{7+1-4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
可得sin∠COB=$\sqrt{1-\frac{4}{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
tan∠COB=$\frac{sin∠COB}{cos∠COB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得雙曲線的漸近線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
不妨設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線和離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．