Question

如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的左支上有一點(diǎn)P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．

Answer 1

解：設(shè)雙曲線方程為：﹣=1（a＞0，b＞0），
F₁（﹣c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²﹣2|PF₁||PF₂|cos=（|PF₁|﹣|PF₂|）²+|PF₁||PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁||PF₂|．
又∵=2．
∴|PF₁||PF₂|sin=2．
∴|PF₁||PF₂|=8．
∴4c²=4a²+8，即b²=2．
又∵e==2，
∴a²=．
∴雙曲線的方程為：﹣=1．