Question

已知函數(shù)（其中）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對(duì)是否在定義域內(nèi)以及在定義域內(nèi)與進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理對(duì)端點(diǎn)值或極值的正負(fù)進(jìn)行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/3/hyjjl.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
①當(dāng)，即時(shí)，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)，即時(shí)，
令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，
由于，
要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
需滿足或，解得或，
所以當(dāng)或時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，，
所以當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/96/c/qpkom3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，總有，
因?yàn)?img src="./tikup