Question

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,所以為中點(diǎn)。因?yàn)榈冗吶�角形中線即為高線，等腰三角形底邊中線也為高線，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直線與平面在圖中沒有標(biāo)示出交點(diǎn)，故用空間向量法較簡單。根據(jù)底面為菱形和底面可建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系。求點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)，得,即可求點(diǎn)的坐標(biāo)，也可根據(jù)求。先求面的法向量，此法向量與所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面。設(shè)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image021.png">∥平面，所以垂直與的法向量，可求得的值，若說明假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。

試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image009.png">是菱形，,

所以為中點(diǎn).                       1分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image029.png">,

所以,                                    3分[

所以底面.                                     4分

（Ⅱ）由底面是菱形可得,

又由（Ⅰ）可知.

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由是邊長為2的等邊三角形，，

可得.

所以.            5分

所以,.

由已知可得            6分

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則，所以.          8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image047.png">，          9分

所以直線與平面所成角的正弦值為，

所以直線與平面所成角的大小為.                    10分

（Ⅲ）設(shè)，則

.         11分

若使∥平面，需且僅需且平面，      12分

解得,          13分

所以在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面.

此時(shí)=.                                               14分

考點(diǎn)：線面平行、線面垂直、線面角、空間向量法解立體幾何，考查空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力。