Question

如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面底面ABCD，且，若E，F分別為PC，BD的中點．

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：平面PDC平面PAD；

（3）求四棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證，再根據線面平行的判定定理即可證明；

（2）先證，進而證明，再根據面面垂直的判定定理即可證明；

（3）

【解析】

試題分析：（1）連接EF，AC

∵四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的正方形且點F為對角線BD的中點，         

∴對角線AC經過F點，                                                      ……1分

又在中，點E為PC的中點，

∴EF為的中位線，

∴，                                                                  ……2分

又，                                                 ……3分

∴平面PAD.                                                               ……4分

（2）∵底面ABCD是邊長為的正方形 

∴   ，                                                                 ……5分

又側面底面ABCD，，側面底面ABCD=AD，

∴.                                                           ……7分

又

∴平面PDC平面PAD .                                                         ……8分

（3）過點P作AD的垂線PG，垂足為點G，

∵側面底面ABCD，，側面底面ABCD=AD，

∴，即PG為四棱錐的高，                            ……9分

又且AD=a，

∴ ，                                                                 ……10分

∴ 。                          ……12分

考點：本小題主要考查線面平行、面面垂直的證明和體積的計算.

點評：證明線面平行、面面垂直時要緊扣相應的判定定理和性質定理，定理中的條件要一一列出來，缺一不可，如證明線面平行時，要強調.