Question

已知圓C與直線x+y-2

2

=0相切于點(diǎn)A(

2

，

2

)，且圓心在直線y=-2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）過A作兩條斜率分別是2和-2的直線，且分別與圓C相交于B、D兩點(diǎn)，求直線BD的斜率．

Answer 1

分析：（1）確定圓的圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可得到圓的方程；
（2）先假設(shè)直線方程，分別與圓聯(lián)立，求得B，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求BD的斜率．

解答：解：（1）設(shè)過點(diǎn)A(

2

，

2

)與直線x+y-2

2

=0垂直的直線為：x-y+m=0，
將A(

2

，

2

)代入x-y+m=0，得m=0，
∴x-y=0，
由于圓C與直線x+y-2

2

=0相切于點(diǎn)A(

2

，

2

)，所以圓心在直線x-y=0上，
又圓心在直線y=-2x上，所以圓心坐標(biāo)為（0，0），所求圓C的方程為x²+y²=4…（4分）
（2）設(shè)直線AB、AD斜率分別為2、-2，則直線AB為：y-

2

=2(x-

2

)即y=2x-

2

代入方程x²+y²=4，并整理得，5x2-4

2

x-2=0，解得xB=-

2

5

，yB=-

7 2

5

直線AD為：y-

2

=-2(x-

2

)即y=-2x+3

2

代入方程x²+y²=4，并整理得，5x2-12

2

x+14=0，解得xD=

7 2

5

，yD=

2

5

∴k_BD=1…（10分）

點(diǎn)評：本題以直線與圓相切為載體，考查圓的方程的求解，考查直線與圓相交，解題時(shí)聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．