Question

已知sin²θ（1+ctgθ）+cos²θ（1+tgθ）=2，θ∈（0，2π），求tanθ的值．

Answer 1

分析：先把正切余切化為正弦余弦，再借助于同角三角函數之間的關系得到sin2θ=1求出θ，再代入即可得到答案．

解答：解；∵sin²θ（1+ctgθ）+cos²θ（1+tgθ）
=sin²θ+sin²θ•ctgθ+cos²θ+cos²θ•tanθ
=1+sin²θ•

cosθ

sinθ

+cos²θ•

sinθ

cosθ

=1+2sinθcosθ=2
∴sin2θ=1
∵θ∈（0，2π），
∴2θ=

π

2

，

5π

2

．
∴θ=

π

4

，

5π

4

．
∴：tanθ=1．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．一般在出現正切余切時，常用的化簡方法是化為正弦余弦．