Question

已知函數.
(1)求函數的單調區間;   (2)若恒成立,求實數k的取值范圍;
(3)證明:  

Answer 1

(1)當時，函數的遞增區間為，；當時，函數的遞增區間為，遞減區間為； (2) (3)證明如下

試題分析：解：(1)的定義域為， 
當時，函數的遞增區間為，
當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；
(2)由得，，
令，則，
∴當時，函數遞增；當時，函數遞減。
∴當時函數取得最大值為1，∴，
(3)由(1)可知若，當時有 
，即,即有 (x>1),  
令，則,,
點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。