Question

平面內n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點．
（1）設這n條直線互相分割成f（n）條線段或射線，猜想f（n）的表達式并給出證明；
（2）求證：這n條直線把平面分成個區域．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過求出f（2），f（3），f（4），猜想f（n）=n²．然后用數學歸納法證明即可．
（2）按照數學歸納法的證明步驟，第一步驗證n=1成立，第二步假設n=k時命題正確，即k條直線把平面分成個區域，推出n=k+1時，命題也成立．
解答：解：（1）解：f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，．
∴猜想f（n）=n²．以下用數學歸納法證明：①當n=2時，f（2）=4=2²，猜想正確．
②假設n=k（k≥2）時猜想正確，即f（k）=k²，
則當n=k+1時，這第k+1條直線與原來的k條直線分別相交，新增k個交點，
它們分別把原來的一條線段或射線一分為二，
使原來的k條直線新分割出k條線段或射線，
又這k個交點還把第k+1條直線分割為k+1條線段或射線．
∴當n=k+1時，猜想也正確．
根據①②知，對大于1的任意自然數n，猜想都正確．
（2）證明：①當n=1時，一條直線把平面分為兩部分，
而n=1時，∴n=1時命題正確．
②假設n=k時命題正確，即k條直線把平面分成個區域，
則n=k+1時，第k+1條直線被原來的k條直線截成k+1條線段或射線，
而每一條線段或射線都把它們所占的一塊區域一分為二，
故新增加出k+1塊區域，
因此k+1條直線把平面共分成，即個區域．
∴當n=k+1時命題也成立．
由①②可知，對任意的n∈N^*，命題都成立．
點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明方法，考查計算能力，邏輯推理能力，常考題型．