Question

平面內(nèi)n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．
（1）設(shè)這n條直線互相分割成f（n）條線段或射線，猜想f（n）的表達(dá)式并給出證明；
（2）求證：這n條直線把平面分成

n(n+1)

2

+1個(gè)區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)求出f（2），f（3），f（4），猜想f（n）=n²．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，第一步驗(yàn)證n=1成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即k條直線把平面分成

k(k+1)

2

+1個(gè)區(qū)域，推出n=k+1時(shí)，命題也成立．

解答：解：（1）解：f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，．
∴猜想f（n）=n²．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=4=2²，猜想正確．
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)猜想正確，即f（k）=k²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，這第k+1條直線與原來(lái)的k條直線分別相交，新增k個(gè)交點(diǎn)，
它們分別把原來(lái)的一條線段或射線一分為二，
使原來(lái)的k條直線新分割出k條線段或射線，
又這k個(gè)交點(diǎn)還把第k+1條直線分割為k+1條線段或射線．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確．
根據(jù)①②知，對(duì)大于1的任意自然數(shù)n，猜想都正確．
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，一條直線把平面分為兩部分，
而n=1時(shí)

n(n+1)

2

+1=2，∴n=1時(shí)命題正確．
②假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即k條直線把平面分成

k(k+1)

2

+1個(gè)區(qū)域，
則n=k+1時(shí)，第k+1條直線被原來(lái)的k條直線截成k+1條線段或射線，
而每一條線段或射線都把它們所占的一塊區(qū)域一分為二，
故新增加出k+1塊區(qū)域，
因此k+1條直線把平面共分成

k(k+1)

2

+(k+1)+1，即

(k+1)(k+2)

2

+1個(gè)區(qū)域．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
由①②可知，對(duì)任意的n∈N^*，命題都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力，常考題型．