Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的最大值是，求的值；

（2）已知，若存在兩個不同的正數，當函數的定義域為時，的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對分類討論，當時，令，根據二次函數的性質計算可得；

（2）令，則 ，即可判斷函數的單調性，函數的定義域為時，的值域為，可轉化為函數與有兩個正交點，即有兩個正根，即有兩個大于1的根，再根據一元二次方程的根的分布得到不等式組，即可解得.

解：（1）當時，，不合題意；

時，令，

設，則.

①若開口向上沒有最大值，故無最大值，不合題意；

②當時，且此時對稱軸，函數的最大值是，

所以，

解得或（舍），

所以.

（2）當時，設，則的對稱軸，

所以當時為增函數，即為增函數.

所以函數的定義域為時，的值域為，

可轉化為函數與有兩個正交點，

即有兩個正根.

即，設，

所以，

即有兩個大于1的根.

所以解得，

所以實數的取值范圍是.