Question

已知

cos4α

cos2β

+

sin4α

sin2β

=1，求證

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

=1．

Answer 1

分析：對所給的式子化為整式，再利用平方關系將cos⁴α表示成（1-sin²α）²，展開后再利用平方關系合并、化簡，最后利用完全平方公式化簡，求出關系式后，再由平方關系，代入所要證明的等式左邊化簡即可．

解答：解：由

cos4α

cos2β

+

sin4α

sin2β

=1得，
cos⁴αsin²β+sin⁴αcos²β=cos²βsin²β，
∴（1-sin²α）²sin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
（1-2sin²α+sin⁴α）sin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
sin²β-2sin²αsin²β+sin⁴αsin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
sin²β（1-cos²β）-2sin²αsin²β+sin⁴α（sin²β+cos²β）=0，
即sin⁴β-2sin²αsin²β+sin⁴α=0，
則（sin²β-sin²α）²=0，
得sin²β=sin²α，
再由平方關系得，cos²β=cos²α，
代入

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

得cos²β+sin²β=1，
即

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

=1．

點評：本題是三角恒等變換的綜合題，主要考查了同角的平方關系的應用，化簡比較復雜，次數很高，注意降冪的方法，很多學生入手很難，難度較大，需要足夠的耐心．