Question

如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求點D到平面AMP的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中點E，連接PE、EM、EA，根據面面垂直的性質可知PE⊥平面ABCD，從而AM⊥PE，由勾股定理可求得AM⊥EM，又PE∩EM=E，滿足線面垂直的判定定理則AM⊥平面PEM，根據線面垂直的性質可知AM⊥PM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM，根據二面角平面角的定義可知∠PME是二面角P-AM-D的平面角，然后在三角形PME中求出此角即可；
（Ⅲ）設D點到平面PAM的距離為d，連接DM，則根據等體積得V_P-ADM=V_D-PAM，建立關于d的等式解之即可得到點D到平面PAM的距離．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中點E，連接PE、EM、EA．
∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD
∴AM⊥PE（2分）
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得：EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²
∴AM⊥EM（4分）
又PE∩EM=E∴AM⊥平面PEM
∴AM⊥PM5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角（7分）
∴tan∠PME=

PE

EM

=

3

3

=1
∴∠PME=45°
∴二面角P-AM-D為45°（（9分））
（Ⅲ）設D點到平面PAM的距離為d，連接DM，則
V_P-ADM=V_D-PAM，∴

1

3

S_△ADM•PE=

1

3

S_△PAM•d
而S_△ADM=

1

2

AD•CD=2

2

在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=

6

∴S_△PAM=

1

2

AM•PM=3，所以：

1

3

×2

2

×

3

=

1

3

×3×d
∴d=

2 6

3

即點D到平面PAM的距離為

2 6

3

（13分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定與性質，以及二面角的度量和點到平面的距離的求解，同時考查了空間想象能力和計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．