Question

（2010•朝陽區二模）如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求直線PD與平面PAM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）取DC的中點N，連接PN，AN，NM．因為PD=PC，所以PN⊥DC．因為PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD．由此能夠證明AM⊥PM．
（Ⅱ）由AM⊥PM且NM⊥AM，知∠PMN為二面角P-AM-D的平面角，由此能求出二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）設點D到平面PAM的距離為d，由V_P-AMD=V_D-PAM，求得d=

2 6

3

，所以點D到平面PAM的距離為

2 6

3

．由此能求出直線PD與平面PAM所成角的正弦值．
法二：（Ⅰ）以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系D-xyz，得D（0，0，0），P（0，1，

3

），C（0，2，0），A（2

2

，0，0），M（

2

，2，0），由

PM

•

PN

=0，得到AM⊥PM．
（Ⅱ）設

n

=(x，y，z)，且

n

⊥平面PAM，由

2 x+y- 3 z=0  - 2 x+2y=0

，得

n

=(

2

，1，

3

)，取

p

=(0，0，1)，顯然

p

⊥平面ABCD，由向量法能得到二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）  設直線PD與平面PAM所成角為θ，由向量法能求出直線PD與平面PAM所成角的正弦值．

解答：（方法一）
（Ⅰ）證明：取DC的中點N，連接PN，AN，NM．
因為PD=PC，所以PN⊥DC
又因為PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
所以PN⊥平面ABCD，
所以PN⊥AM．因為AN=3，MN=

3

，AM=

6

，
所以NM⊥AM，
又因為PN∩NM=N，所以AM⊥PM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PM且NM⊥AM，
所以∠PMN為二面角P-AM-D的平面角，
又因為PN=NM=

3

，
所以∠PMN=45°．即二面角P-AM-D的大小為45°．
（Ⅲ）設點D到平面PAM的距離為d，
因為V_P-AMD=V_D-PAM，
所以

1

3

•SAMD•PN=

1

3

SPAM•d，
求得d=

2 6

3

，即點D到平面PAM的距離為

2 6

3

．
設直線PD與平面PAM所成角為θ，
則sinθ=

d

PD

=

6

3

，
故直線PD與平面PAM所成角的正弦值為

6

3

．

（方法二）（Ⅰ） 證明  以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
依題意，可得D（0，0，0），P（0，1，

3

），C（0，2，0），
A（2

2

，0，0），M（

2

，2，0），
∴

PM

=(

2

，2，0)-(0，1，

3

)=(

2

，1，-

3

)，

AM

=(

2

，2，0)-(2 

2

，0，0)=(- 

2

，2，0)，
∴

PM

•

PN

=-2+2+0=0，
即

PM

⊥

AM

，∴AM⊥PM．
（Ⅱ）解  設

n

=(x，y，z)，
且

n

⊥平面PAM，
則

n • PM =0 n • AM =0

，
∴

2 x+y- 3 z=0  - 2 x+2y=0

，

n

=(

2

，1，

3

)，
取

p

=(0，0，1)，
顯然

p

⊥平面ABCD，
∴cos＜

n

，

p

＞=

n • p

| n |•| p |

=

3

6

=

2

2

．
結合圖形可知，二面角P-AM-D為45°．
（Ⅲ）  設直線PD與平面PAM所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DP

，

n

＞|=|

DP • n

| DP || n |

|=

6

3

故直線PD與平面PAM所成角的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，求二面角的大小，求直線與平面所成角的正弦值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．