Question

設

a

，

b

，

c

是平面內互不平行的三個向量，x∈R，有下列命題：
①方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)不可能有兩個不同的實數解；
②方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)有實數解的充要條件是

b

2-4

a

•

c

≥0；
③方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0有唯一的實數解x=-

b

a

；
④方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒有實數解．
其中真命題有______．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

對于①：
對方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)變形可得

C

=-x²

a

-x

b

，
由平面向量基本定理分析可得

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)最多有一解，
故①不正確；
對于②：
方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)是關于向量的方程，不能按實數方程有解的條件來判斷，
故②正確；
對于③、④，方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0中，
△=4

a

•

b

²-4

a

2•

b

2，
又由

a

、

b

不平行，必有△＜0，
則方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒有實數解，
故③不正確而④正確
故答案為：④．