Question

已知長為m（m＞0）的線段P₁P₂兩端點上在y²=4x上移動．
（1）求P₁P₂中點M的軌跡方程；
（2）求M點到y軸距離的最小值及對應點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點為M（x，y），利用，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中點的軌跡方程．
（2）通過中點軌跡方程，m≥4，m＜4，求出M點到y軸距離的最小值及對應點M的坐標．
解答：解：（1）設P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點為M（x，y），則
…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
這就是P₁P₂中點的軌跡方程．
（2）由④：．
∵y²+4∈[4，+∞）
當m≥4時，時，
取“=”號．此時：．M點的坐標為．
當m＜4時，由
∵0＜m＜4∴
此時，
∴當m≥4時，M到y軸距離最小值為，M點坐標為．
當0＜m＜4時，M到y軸距離最小值為
點評：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，考查計算能力，轉化思想，函數最值的求法．