Question

在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且與點A相距10海里的位置C．
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（II）若該船不改變航行方向繼續行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題意畫出簡圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．
（2）先假設直線AE與BC的延長線相交于點Q，根據余弦定理求出cos∠ABC的值，進而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長度，從而可確定Q在點A和點E之間，根據QE=AE-AQ求出QE的長度，然后過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離，進而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進行比較即可得到答案．
解答：解：（I）如圖，AB=40，AC=10，．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．
由余弦定理得BC=．
所以船的行駛速度為（海里/小時）．

（II）如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
==．
從而．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=．
由于AE=55＞40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15．
過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=．
所以船會進入警戒水域．
點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用．考查學生的運算能力、綜合考慮問題的能力．