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精英家教網在一個特定時段內,以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40
2
海里的位置B,經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ(其中sinθ=
26
26
,0°<θ<90°)且與點A相距10
13
海里的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);
(II)若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.
分析:(1)先根據題意畫出簡圖確定AB、AC、∠BAC的值,根據sinθ=
26
26
求出θ的余弦值,再由余弦定理求出BC的值,從而可得到船的行駛速度.
(2)先假設直線AE與BC的延長線相交于點Q,根據余弦定理求出cos∠ABC的值,進而可得到sin∠ABC的值,再由正弦定理可得AQ的長度,從而可確定Q在點A和點E之間,根據QE=AE-AQ求出QE的長度,然后過點E作EP⊥BC于點P,則EP為點E到直線BC的距離,進而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進行比較即可得到答案.
解答:精英家教網解:(I)如圖,AB=40
2
,AC=10
13
,∠BAC=θ,sinθ=
26
26

由于0°<θ<90°,所以cosθ=
1-(
26
26
)
2
=
5
26
26

由余弦定理得BC=
AB2+AC2-2AB•AC•cosθ
=10
5

所以船的行駛速度為
10
5
2
3
=15
5
(海里/小時).

(II)如圖所示,設直線AE與BC的延長線相交于點Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
cos∠ABC=
AB2+BC2-AC2
2AB•BC
=
402×2+102×5-102×13
2×40
2
×10
5
=
3
10
10
精英家教網
從而sin∠ABC=
1-cos2∠ABC
=
1-
9
10
=
10
10

在△ABQ中,由正弦定理得,
AQ=
ABsin∠ABC
sin(45°-∠ABC)
=
40
2
×
10
10
2
2
×
2
10
10
=40

由于AE=55>40=AQ,所以點Q位于點A和點E之間,且QE=AE-AQ=15.
過點E作EP⊥BC于點P,則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt△QPE中,PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin(45°-∠ABC)
=15×
5
5
=3
5
<7

所以船會進入警戒水域.
點評:本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用.考查學生的運算能力、綜合考慮問題的能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網在一個特定時段內,以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域,點E正北方向55海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40
2
海里的位置B,經過80分鐘又測得該船已行駛到點A正東方向且與點A相距20海里的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);
(II)若該船不改變航行方向繼續行駛,判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,在一個特定時段內,以點E為中心的10海里以內海域被設為警戒水域.點E正北40
3
海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20
3
海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時); 
(2)若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

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科目:高中數學 來源:2015屆湖南省高一上學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖所示,在一個特定時段內,以點E為中心的10海里以內海域被設為警戒水域.點E正北40海里處有一個雷達觀測站A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B,經過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20海里的位置C.

(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

 

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年陜西省高三第三次月考理科數學(普通班)(解析版) 題型:解答題

在一個特定時段內,以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B,經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=)且與點A相距10海里的位置C.

  (1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

  (2)若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

 

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同步練習冊答案
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