Question

設定義在R上的函數f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），當x=-1時f（x）取得極大值，且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）試在函數y=f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[-，]上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數y=f（x+1）與函數y=f（x）的圖象關系知函數y=f（x）是奇函數，可得f（x）=a₁x³+a₃x，再由當x=-1時f（x）取得極大值，可有求得a₁，a₃即可．
（2）先設所求兩點為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），由“這兩點為切點的切線互相垂直”轉化為兩點處的導數乘積等于
-1，再結合求解．
解答：解：（1）將函數y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位，得到函數y=f（x）的圖象，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=a₁x³+a₃x
∴f^′（x）=3a₁x²+a₃
由題意得：
所以，經檢驗滿足題意
（2）由（1）可得f^′（x）=x²-1
故設所求兩點為
f^′（x₁）•f^′（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁²-1，x₂²-1∈[-1，1]
∴
或
∴滿足條件的兩點的坐標為：
（0，0），或
點評：本題主要考查函數奇偶性和函數的極值，導數的幾何意義，要注意：極值實際上是兩個條件，一是該點處的導數為零，二是告訴了該點處的函數值．