Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=

2

，BB₁=3，D為A₁C₁的中點，F在線段AA₁上．
（1）AF為何值時，CF⊥平面B₁DF？
（2）設AF=1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：本題適合建立空間坐標系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標系，給出有關點的坐標，設出點F的坐標，（I）由線面垂直轉化為線的方向向量與面的法向量垂直，利用二者內積為零建立關于參數的方程參數．（II）求出兩平面的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值即可．

解答：解：（1）因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=

π

2

．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
因為AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=

2

，
從而B（0，0，0），A(

2

，  0，  0)，C(0，  

2

，  0)，B₁（0，0，3），A₁(

2

，  0，  3)，C₁(0，  

2

，  3)，D(

2

2

，  

2

2

，  3)，E(0，  

2

2

，  

3

2

)．
所以

CA1

=(

2

，  -

2

，  3)，
設AF=x，則F（

2

，0，x），

CF

=(

2

，  -

2

，  x)，  

B1F

=(

2

，  0，  x-3)，  

B1D

=(

2

2

，  

2

2

，  0).

CF

•

B1D

=

2

•

2

2

+(-

2

)•

2

2

+x•0=0，所以

CF

⊥

B1D

．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由

CF

•

B1F

=2+x（x-3）=0，得x=1或x=2，
故當AF=1或2時，CF⊥平面B₁DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量為n₁=（0，0，1）．
設平面B₁CF的法向量為n=（x，y，z），則由

n• CF =0 n• B1F =0

得

2 x- 2 y+z=0 2 x-2z=0

令z=1得n=(

2

，  

3

2

2

，  1)，
所以平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值cos?n，n1＞=

1

1× 2+ 9 2 +1

=

30

15

．

點評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關系的對應．