Question

如圖，在六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2。

（1）求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；
（2）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（3）求二面角A-BB₁-C的大小（用反三角函數(shù)值圾示）。

Answer 1

解：（1）∵平面，平面 ∴，，平面平面 于是， 設(shè)分別為的中點(diǎn)，連結(jié)， 有 ∴， 于是 由，得， 故，與共面 過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)， 則，連結(jié)， 于是，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 所以點(diǎn)O在BD上，故與共面。 （2）證明：∵平面， ∴， 又（正方形的對(duì)角線互相垂直）， 與是平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴平面 又平面過(guò)， ∴平面平面。 （3）解：∵直線DB是直線在平面上的射影，， 根據(jù)三垂線定理，有 過(guò)點(diǎn)A在平面內(nèi)作于M，連結(jié)， 則平面， 于是， 所以，是二面角的一個(gè)平面角 根據(jù)勾股定理，有 ∵，有，，， ， ， 二面角的大小為