Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（1）求證：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值；
（3）求D到平面BCGF的距離．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，建立空間坐標系，分別求出線段BF，CG的方向向量，根據向量相等，可得BF∥CG，進而根據線面平行的判定定理可得BF∥平面ACGD；
（2）分別求出平面BCGF的法向量的平面ADGC的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角D-CG-F的余弦值；
（3）過D作GC的垂線DN，利用等積法求出DN長，進而利用D到平面BCGF的距離d=DN×sin＜

m

，

n

＞，可得答案．

解答：解：由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，
則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），
E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（1）

BF

=（0，1，-2），

CG

=（0，1，-2）
∵

BF

=

CG

∴BF∥CG．
又BF?平面ACGD，CG?平面ACGD
故 BF∥平面ACGD…（4分）
（2）

FG

=（-2，1，0），
設平面BCGF的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • CG =y-2z=0 m • FG =-2x+y=0

，
令y=2，則

m

=（1，2，1），…（6分）
而平面ADGC的法向量

n

=（1，0，0）
二面角D-CG-F的余弦值cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

（3）過D作GC的垂線DN，垂足為N，
則DN×CG=DG×AD
∴DN=

DG×AD

CG

=

4 5

5

設D到平面BCGF的距離為d
則d=DN×sin＜

m

，

n

＞=

4 5

5

×

30

6

=

2 6

3

…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，點到平面的距離，二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標系，將空間問題轉化為向量問題是解答的關鍵．