Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ） 若直線y=2x和此函數的圖象相切，求a的值；
（Ⅲ）若當x∈[1，3]時，f（x）-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據x=2是f（x）的一個極值點，可知f′（2）=0，從而可求b的值，進而利用導數大于0，可求函數y=f（x）的單調遞增區間； 
（Ⅱ）根據直線y=2x和此函數的圖象相切，故在切點處的斜率為2，從而可求切點，進而可求a的值；
（Ⅲ） 先確定函數在x=2處取最小值，進而利用最值法解決恒成立問題，故可解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．
∵x=2是f（x）的一個極值點
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一個根，解得b=

3

2

．
令f′（x）＞0，則x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函數y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，1），（2，+∞）．
（Ⅱ） 設切點為（x₀，y₀），則x₀²-3x₀+2=2
∴x₀=0或x₀=3
∴切點為（0，0），（3，6）
代入函數f（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a，可得a=0或a=

9

2

（Ⅲ）∵當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，x∈（2，3）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上單調遞減，f（x）在（2，3）上單調遞增．
∴f（2）是f（x）在區間[1，3]上的最小值，且f(2)=

2

3

+a．
若當x∈[1，3]時，f（x）-a2＞

2

3

恒成立，只需f(2)＞a2+

2

3

，
即

2

3

+a＞a2+

2

3

，解得 0＜a＜1．

點評：本題以極值為依托，考查導數的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題的處理．